Cách để Tính diện tích ngũ giác đều

Ngũ giác là một đa giác có năm cạnh thẳng. Hầu hết các bài toán ở lớp Hình học sẽ xoay quanh ngũ giác đều với năm cạnh bằng nhau. Có hai cách phổ biến để tính diện tích ngũ giác đều, tùy vào những thông tin mà đề bài cho.

Phương pháp 1

Phương pháp 1 của 3:

Tính diện tích khi biết độ dài cạnh và đường trung đoạn

1
Bắt đầu với độ dài cạnh và đường trung đoạn. Phương pháp này áp dụng cho ngũ giác đều với năm cạnh bằng nhau. Ngoài độ dài cạnh, bạn cần biết số đo "đường trung đoạn". Đường trung đoạn của ngũ giác đều là đoạn thẳng vuông góc hạ từ tâm xuống một cạnh.
- Đừng nhầm lẫn đường trung đoạn với bán kính, đây là đường thẳng nối từ tâm đến một góc (hay đỉnh) thay vì trung điểm của cạnh. Nếu đề bài chỉ cho biết độ dài cạnh và bán kính, hãy chuyển sang phương pháp tiếp theo.
- Ví dụ 1: tính diện tích của ngũ giác đều với cạnh dài 3 đơn vị và đường trung đoạn dài 2 đơn vị.
2
Chia ngũ giác thành năm hình tam giác. Vẽ năm đường thẳng nối từ tâm đến mỗi đỉnh. Bạn sẽ có năm hình tam giác.
3
Tính diện tích của hình tam giác. Mỗi hình tam giác có đáy là cạnh của ngũ giác và chiều cao bằng với đường trung đoạn. (Ghi nhớ: chiều cao của hình tam giác là đoạn thẳng đi từ đỉnh xuống cạnh đối diện và tạo thành góc vuông.) Để tìm diện tích của một hình tam giác, bạn chỉ cần tính ½ x đáy x cao.
- Trong ví dụ 1, diện tích của hình tam giác = ½ x 3 x 2 = 3 đơn vị diện tích.
4
Lấy diện tích của một hình tam giác nhân với 5. Vì chúng ta đã chia ngũ giác thành năm hình tam giác bằng nhau, nên để tính diện tích tổng, bạn chỉ cần lấy diện tích của một hình tam giác nhân với 5.
- Ở ví dụ 1, diện tích của ngũ giác S = 5 x S(tam giác) = 5 x 3 = 15 đơn vị diện tích.
Quảng cáo

Phương pháp 2

Phương pháp 2 của 3:

Tính diện tích khi biết độ dài cạnh

1
Bắt đầu chỉ với độ dài cạnh. Phương pháp này áp dụng cho ngũ giác đều với năm cạnh bằng nhau.
- Ví dụ 2: tính diện tích ngũ giác có độ dài cạnh là 7 đơn vị.
2
Chia ngũ giác thành năm hình tam giác. Vẽ đường thẳng nối từ tâm của ngũ giác đến mỗi đỉnh. Bạn cần vẽ tổng cộng năm đoạn thẳng. Lúc này, chúng ta sẽ có năm hình tam giác với kích thước như nhau.
3
Chia hình tam giác làm đôi. Vẽ đường thẳng từ tâm của hình ngũ giác đến đáy của hình tam giác. Đường thẳng này sẽ vuông góc với đáy và chia tam giác thành hai hình tam giác nhỏ hơn có cùng kích thước.
4
Tìm diện tích hình tam giác nhỏ. Bắt đầu tính độ dài cạnh và góc tam giác nhỏ như sau:
- Đáy của tam giác nhỏ bằng ½ cạnh của ngũ giác. Trong ví dụ 2, ta có đáy của hình tam giác nhỏ = ½ x 7 = 3,5 đơn vị.
- Góc của tam giác nhỏ nằm ở tâm hình ngũ giác luôn luôn là 36º. (Tâm của hình ngũ giác ban đầu là 360º, chúng ta đã chia thành 10 hình tam giác nhỏ: 360 ÷ 10 = 36. Vậy, góc nằm ở tâm hình ngũ giác của mỗi tam giác nhỏ là 36º.)
5
Tìm chiều cao của tam giác nhỏ. Chiều cao của tam giác nhỏ là đoạn thẳng nối từ tâm vuông góc với cạnh của ngũ giác. Chúng ta có thể sử dụng công thức lượng giác để tính độ dài cạnh này:^{[1]
X
Nguồn nghiên cứu}
- Trong tam giác vuông, tan của một góc bằng độ dài cạnh đối diện chia cho cạnh liền kề.
- Cạnh nằm đối diện góc 36º là đáy của tam giác nhỏ (½ cạnh hình ngũ giác). Cạnh kề của góc 36º là chiều cao của tam giác nhỏ.
- tan(36º) = cạnh đối/ cạnh kề
- Trong ví dụ 2, ta có tan(36º) = 3,5 / chiều cao tam giác nhỏ
- Chiều cao tam giác nhỏ x tan(36º) = 3,5
- Chiều cao tam giác nhỏ = 3,5 / tan(36º)
- Chiều cao tam giác nhỏ gần bằng 4,8 đơn vị.
6
Tính diện tích hình tam giác. Diện tích hình tam giác bằng ½ đáy x cao. Công thức: S = ½bh, trong đó, b là độ dài cạnh đáy và h là chiều cao của hình tam giác. Bây giờ bạn đã biết chiều cao lẫn độ dài cạnh đáy của tam giác nhỏ, hãy thay các giá trị vào công thức để tìm diện tích.
- Ở ví dụ 2, diện tích của tam giác nhỏ = ½bh = ½(3,5)(4,8) = 8,4 đơn vị diện tích.
7
Thực hiện phép nhân để tìm diện tích ngũ giác. Một hình tam giác nhỏ bằng 1/10 diện tích ngũ giác. Vậy, để tính diện tích hình ngũ giác, bạn chỉ cần lấy diện tích tam giác nhỏ nhân với 10.
- Trong ví dụ 2, diện tích của toàn bộ hình ngũ giác = 8,4 x 10 = 84 đơn vị diện tích.
Quảng cáo

Phương pháp 3

Phương pháp 3 của 3:

Sử dụng công thức

1
Sử dụng chu vi và đường trung đoạn. Đường trung đoạn của ngũ giác đều là đoạn thẳng vuông góc hạ từ tâm xuống một cạnh. Nếu đề bài cho sẵn độ dài đường trung đoạn, bạn có thể dễ dàng tính được diện tích ngũ giác bằng công thức dưới đây:
- Diện tích ngũ giác đều = pa/2, trong đó,p là chu vi và a là độ dài đường trung đoạn.^{[2]
  X
  Nguồn nghiên cứu}
- Nếu bạn chưa biết chu vi, hãy tính từ độ dài cạnh: p = 5s, trong đó s là độ dài cạnh.
2
Sử dụng độ dài cạnh. Nếu bạn chỉ biết độ dài cạnh, hãy áp dụng công thức sau:^{[3]
X
Nguồn nghiên cứu}
- Diện tích ngũ giác đều = (5s²) / (4tan(36º)), trong đó, s là độ dài cạnh.
- tan(36º) = √(5-2√5).^{[4]
  X
  Nguồn nghiên cứu} Nếu máy tính không thể tính "tan", hãy sử dụng công thức S = (5s²) / (4√(5-2√5)).
3
Chọn công thức chỉ sử dụng bán kính. Nếu bài toán chỉ cho mỗi bán kính, bạn có thể áp dụng công thức này:^{[5]
X
Nguồn nghiên cứu}
- Diện tích ngũ giác đều = (5/2)r²sin(72º), trong đó, r là bán kính.
Quảng cáo

Lời khuyên

Những ví dụ trong bài viết này sử dụng giá trị làm tròn để bài toán đơn giản hơn. Nếu bạn đang đo ngũ giác thực tế với độ dài cạnh cho trước, kết quả nhận được sẽ khác.
Ngũ giác không đều hay ngũ giác có độ dài các cạnh khác nhau sẽ khó tính diện tích hơn. Phương pháp thích hợp nhất là chia ngũ giác thành các hình tam giác và tính diện tích của mỗi hình để tìm tổng. Tùy trường hợp mà có thể bạn sẽ cần vẽ hình to hơn ra ngoài ngũ giác, tính diện tích tổng rồi trừ đi phần diện tích bên ngoài.
Nếu có thể, hãy giải bằng cả phương pháp hình học và công thức, sau đó so sánh kết quả để kiểm tra lại xem đáp án của bạn có chính xác chưa. Hai kết quả này sẽ khác nhau đôi chút (vì bạn không thực hiện từng bước rồi làm tròn như phương pháp hình học mà nhập tất cả giá trị vào công thức và tính một lượt), tuy nhiên chênh lệch này là không đáng kể.
Các công thức được rút ra từ phương pháp hình học và trong bài viết cũng không ngoại lệ. Hãy thử tìm hiểu cách chứng minh những công thức này. Riêng công thức tính diện tích ngũ giác từ bán kính sẽ khó chứng minh hơn so với những công thức còn lại. Gợi ý: bạn cần dựa vào công thức góc nhân đôi.