Cách để Tìm nghiệm của phương trình bậc hai

2 Phương pháp:Sử dụng công thức nghiệm bậc haiTìm nghiệm bằng cách phân tích thành thừa số

Phương trình bậc hai là bất kì phương trình nào có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó a ≠ 0. "Tìm nghiệm của phương trình bậc hai" nghe có vẻ khó, nhưng thật ra thì không — "tìm nghiệm" đơn giản là việc giải phương trình để tìm x! Bất kì phương trình bậc hai nào đều có thể giải bằng công thức x = (-b +/-√(b2 - 4ac))/2a. Ngoài ra, tùy thuộc phương trình bạn đang giải, sẽ có nhiều mẹo khác để giúp tìm ra nghiệm của phương trình đó.

1
Sử dụng công thức nghiệm bậc hai

  1. 1
    Viết phương trình dưới dạng bậc hai. Phương trình bậc hai được định nghĩa là phương trình đa thức bậc hai thể hiện theo một biến số duy nhất là x và có a ≠ 0.[1] Nói một cách đơn giản, đó là phương trình chỉ có một biến số (thường là x), trong đó lũy thừa cao nhất của biến số là 2. Nói chung, chúng ta có thể viết phương trình bậc hai dưới dạng ax2 + bx + c = 0
    • Để viết một phương trình theo dạng bậc hai, bạn hãy chuyển tất cả các số hạng về một bên của dấu bằng sao cho chỉ còn số 0 bên vế còn lại. Ví dụ, nếu bạn muốn viết phương trình 2x2 + 8x = -5x2 - 11 dưới dạng bậc hai thì hãy làm như sau:
    • 2x2 + 8x = -5x2 + 11
    • 2x2 + 5x2 + 8x = + 11
    • 2x2 + 5x2 + 8x - 11 = 0
    • 7x2 + 8x - 11 = 0. Bạn có thể thấy đây là dạng bậc hai tiêu chuẩn ax2+ bx + c = 0 được đề cập bên trên.
  2. 2
    Thay a, b và c vào x = (-b +/-√(b2 - 4ac))/2a. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm rất dễ - chỉ cần thay a, b, và c vào công thức và giải tìm x! Vì dạng của phương trình bậc hai là ax2+ bx + c = 0, nghĩa là số nằm cạnh x2 là a, số nằm cạnh x là b và số không đi theo x là c.
    • Đối với ví dụ trên, 7x2 + 8x - 11 = 0, a = 7, b = 8, và c = -11.
    • Thay các giá trị này vào công thức, chúng ta có x = (-8 +/-√(82 - 4(7)(-11)))/2(7)
  3. 3
    Giải tìm nghiệm. Sau khi bạn thay các giá trị của a, b và c vào công thức, giải phương trình chỉ còn là việc thực hiện các phép tính đại số cơ bản đến khi bạn gặp ký hiệu +/-. Chúng ta sẽ xử lý phần này trong bước kế tiếp.
    • Trong ví dụ này, chúng ta sẽ giải như sau:
    • x = (-8 +/-√(82 - 4(7)(-11)))/2(7)
    • x = (-8 +/-√(64 - (28)(-11)))/(14)
    • x = (-8 +/-√(64 - (-308)))/(14)
    • x = (-8 +/-√(372))/(14)
    • x = (-8 +/- 19,29/(14). Bây giờ chúng ta tạm dừng ở đây.
  4. 4
    Công và trừ để có hai nghiệm cuối cùng. Một điểm dễ mắc sai sót khi tìm nghiệm của phương trình bậc hai đó là bạn thường tìm được hai kết quả đúng (nếu giải phương trình bậc hai thì bạn đừng quên liệt kê đủ hai nghiệm để nhận được điểm tối đa!) Để hoàn thành việc giải phương trình bậc hai, bạn hãy sử dụng dấu + và dấu - để tìm ra hai nghiệm.
    • Với phép cộng chúng ta có:
    • x = (-8 + 19,29)/(14)
    • x = 11,29/14
    • x = 0,81
    • Với phép trừ chúng ta có:
    • x = (-8 – 19,29)/(14)
    • x = (-27,29)/(14)
    • x = -1,95 .
    • Cuối cùng ta có các kết quả là 0,81 và -1,95.
  5. 5
    Kiểm tra các kết quả. Nếu có thời gian thì bạn nên kiểm tra các nghiệm vừa tìm được của phương trình bậc hai. Vì việc giải phương trình bậc hai đòi hỏi phải làm một chuỗi các phép toán, nên bạn sẽ dễ dàng mắc các sai sót nhỏ dẫn đến kết quả sai. May mắn là bạn có thể dùng các phương pháp đơn giản dưới đây để kiểm tra hai nghiệm tìm được.
    • Cách nhanh nhất và dễ nhất để kiểm tra kết quả là thay các giá trị của a, b và c vào chương trình giải phương trình bậc hai tự động. Bạn có thể dễ dàng tìm được các chương trình này trên internet — ví dụ, đây là một chương trình của mathisfun.com.[2]
  6. 6
    Thay vào đó bạn có thể kiểm tra kết quả bằng phương pháp thủ công. Nếu hoàn cảnh không cho phép sử dụng công cụ trực tuyến thì bạn vẫn có thể kiểm tra các nghiệm bằng cách thay chúng vào x trong phương trình ban đầu. Nếu phương trình bằng 0 (hoặc rất gần 0 — thường là do làm tròn) thì hai nghiệm đó là chính xác.
    • Thay các kết quả vào phương trình 7x2 + 8x - 11 = 0 để xem chúng có đúng hay không:
    • 7(-1,95)2 + 8(-1,95) - 11
    • 26,62 – 15,6 - 11
    • 26,62 – 26,5 = 0,02 — giá trị này gần như bằng không, sai số có thể là do làm tròn, không phải vì kết quả đó sai.
    • 7(0,81)2 + 8(0,81) - 11
    • 4,59 + 6,48 - 11 = 0,07 — xem bên trên. Các kết quả hầu như là chính xác.

2
Tìm nghiệm bằng cách phân tích thành thừa số

Phân tích thành thừa số khi "a" bằng 1

  1. 1
    Bắt đầu với phương trình ở dạng bậc hai. Công thức nghiệm bậc hai trên đây là một công cụ giải hay, nhưng đó không phải là cách duy nhất để giải phương trình bậc hai. Ví dụ, một số phương trình bậc hai có thể phân tích thành thừa số, nghĩa là viết lại phương trình ở dạng dễ giải hơn. Tuy nhiên, trước tiên bạn phải viết phương trình ở dạng bậc hai tiêu chuẩn: ax2 + bx + c = 0.
    • Trong phần này, chúng ta chỉ giải các phương trình có hệ số "a" bằng 1. Nếu a khác 1 thì phương pháp giải sẽ khó hơn một chút (xem dưới đây). Hãy sử dụng phương trình x2 + 7x + 12 = 0 làm ví dụ trong phần này. Trong các bước kế tiếp, chúng ta sẽ phân tích thành thừa số và giải phương trình.
  2. 2
    Đưa phương trình về dạng (x + _)(x + _) = 0. "Phân tích thành thừa số" nghĩa là "tìm các giá trị mà khi nhân cho nhau sẽ cho kết quả là giá trị ban đầu". Trong trường hợp này, chúng ta phải phân tích phương trình bậc hai thành các thừa số. Vì số hạng x có lũy thừa cao nhất là x2 (hay nói cách khác là x × x), nên chúng ta sẽ phân tích phương trình đó ra dạng thừa số như sau: (x + _)(x + _) = 0.
    • Chú ý các chỗ chừa trống, trong những bước kế tiếp chúng ta sẽ điền vào đó để hoàn thành việc phân tích thành thừa số.
  3. 3
    Tìm các thừa số của số hạng "c". Liệt kê tất cả các số có thể nhân cho nhau để được giá trị của c trong phương trình bậc hai. Đây là các thừa số của c.
    • Trong phương trình (x2 + 7x + 12 = 0), số hạng c là 12. Các số có thể nhân cho nhau để được 12 là: 1 và 12, 2 và 6, 3 và 4. Chúng ta có các thừa số của 12 là 1, 2, 3, 4, 6 và 12.
  4. 4
    Tìm hai thừa số của c mà khi cộng cho nhau sẽ cho số hạng "b". Từ danh sách các thừa số của c, bạn chọn hai giá trị mà khi cộng với nhau sẽ cho kết quả là số hạng b. Để dễ hiểu, việc của bạn không phải là tìm thừa số của số hạng b, mà chỉ cần chọn hai số để khi cộng với nhau sẽ cho ra b.
    • Trong phương trình (x2 + 7x + 12 = 0), số hạng b là 7. Danh sách các thừa số của c là 1, 2, 3, 4, 6 và 12. Cộng 3 với 4 được 7, do đó đây là các số chúng ta cần tìm.
    • Nếu trong danh sách này không có hai số nào cộng với nhau để được 7 thì chúng ta nói rằng phương trình "không thể phân tích thành thừa số nguyên".[3] Cơ bản nghĩa là phương trình này không thể phân tích thành thừa số, và chúng ta phải dùng phương pháp khác để tìm nghiệm.
  5. 5
    Điền vào chỗ trống trong phương trình đã được phân tích ra thừa số. Bây giờ chúng ta điền hai số vừa chọn từ danh sách thừa số vào chỗ trống chừa sẵn trong phương trình bên trên. Như vậy là bạn đã phân tích phương trình bậc hai ban đầu thành thừa số.
    • Sau khi điền vào chỗ trống, chúng ta có phương trình như sau: (x + 3)(x + 4) = 0.
  6. 6
    Giải tìm hai giá trị "x". Bây giờ tất cả những gì bạn phải làm để tìm nghiệm của phương trình bậc hai là đặt biểu thức trong mỗi ngoặc đơn bằng 0 và giải tìm x. Vì các biểu thức trong ngoặc được nhân cho nhau nên bất kì biểu thức nào bằng không thì toàn bộ phương trình sẽ bằng không. Do đó nghiệm của phương trình là các giá trị x khiến cho mỗi biểu thức trong ngoặc bằng không.
    • Trong ví dụ này, các biểu thức trong ngoặc là (x + 3) và (x + 4). Đặt từng biểu thức bằng không, chúng ta có:
    • x + 3 = 0: x = -3
    • x + 4 = 0: x = -4
    • Lưu ý: tương tự như cách sử dụng công thức nghiệm, bạn có thể kiểm tra hai kết quả vừa tìm bằng phương pháp nói trên.

Phân tích thành thừa số khi "a" ≠ 1

  1. 1
    Phân tích số hạng "a" thành thừa số. Nếu số hạng a trong phương trình bậc hai không bằng một, việc phân tích thành thừa số sẽ khó hơn nhưng vẫn có thể làm được. Bắt đầu phân tích số hạng a thành thừa số — vì x2 nằm trong số hạng a nên cả hai thừa số phải có x.
    • Trong phần này, chúng ta sử dụng phương trình 2x2 + 14x + 12 = 0 làm ví dụ. Trong trường hợp này, số hạng a là 2x2. Vì 2 là số nguyên tố nên chỉ có hai thừa số là 2 và 1. Điều này có nghĩa các thừa số của 2x22x và x.
    • Lưu ý: có những trường hợp có nhiều hơn hai thừa số của số hạng a. Nếu số hạng a là 8x2 thì chúng ta có 8x và x, 2x và 4x. Khi đó chúng ta phải kiểm tra cả hai để xem cặp nào phù hợp.
  2. 2
    Đưa phương trình về dạng ((thừa số 1)+ _)((thừa số 2) + _). Chúng ta bắt đầu phân tích thành thừa số đúng theo cách bên trên. Tuy nhiên, lần này tối thiểu một số hạng x sẽ có hệ số đi theo (đôi khi cả hai đều có hệ số đi theo — tùy thuộc vào các thừa số được phân tích từ số hạng đó).[4]
    • Trong ví dụ này, chúng ta đưa phương trình về dạng như sau: (2x + _)(x + _).
  3. 3
    Tìm các thừa số của số hạng c. Phần này hoàn toàn giống với phần trên — bạn chỉ cần tìm các số mà khi nhân cho nhau sẽ cho kết quả là giá trị c.
    • Trong ví dụ trên, vì số hạng c vẫn là 12 nên danh sách các thừa số không thay đổi: 1, 2, 3, 4, 6 và 12.
  4. 4
    Chọn hai số trong danh sách đó mà sẽ cho bạn giá trị của số hạng b. Phần này hơi khó — bạn phải chọn ra hai số mà khi được thay vào dạng thừa số của phương trình thì sẽ cho kết quả là số hạng b trong phương trình bậc hai ban đầu. Tuy nhiên, nhớ rằng lần này bạn không chỉ có hai số hạng x trong phương trình đã được phân tích ra thừa số — bạn sẽ có ít nhất một số hạng x đi kèm theo hệ số.
    • Trong phương trình ví dụ, số hạng b là 14x. Nghĩa là chúng ta phải tìm hai số trong danh sách các thừa số của c, sao cho khi nhân một số cho 2x và số còn lại cho x thì sẽ có tổng cộng 14x.
    • Hãy thử các thừa số đã chọn ở phần trên: 3 và 4. 3 × 2x = 6x, 4 × x = 4x. 4x + 6x = 10x. Kết quả không thỏa mãn nên chúng ta đảo lại. 4 × 2x = 8x, 3 × x = 3x. 8x + 3x = 11x. Kết quả cũng không được 14x nên cặp thừa số này không đúng.
    • Bây giờ chúng ta thử cặp 6 và 2. 6 × 2x = 12x, 2 × x = 2x. 12x + 2x = 14x. Thành công! Bạn sẽ dùng cặp 6 và 2 để điền vào chỗ trống trong phương trình đã được phân tích ra dạng thừa số.
  5. 5
    Điền vào chỗ trống và giải tìm x như bình thường. Sử dụng hai thừa số đã chọn để điền vào chỗ trống trong phương trình. Nhớ điền mỗi số vào đúng vị trí sao cho khi chúng nhân với các số hạng x thì sẽ cho kết quả là số hạng b. Sau đó đặt mỗi biểu thức trong ngoặc bằng không để giải như phần trên.
    • Phương trình của chúng ta sẽ là (2x + 2)(x + 6) = 0. Đặt mỗi biểu thức bằng không, chúng ta có:
    • 2x + 2 = 0
    • 2x = -2 : x = -1
    • x + 6 = 0 : x = -6

Lời khuyên

  • Phương pháp phân tích thành thừa số và phần bù bình phương chỉ là hai cách đi vòng để sử dụng công thức nghiệm bậc hai. Xem bài viết của chúng tôi về xây dựng công thức nghiệm bậc hai để hiểu rõ hơn, những hãy thận trọng — một số bài toán có thể phức tạp hơn!
  • Nhớ rằng số căn bậc hai có thể mang giá trị dương hoặc âm. Đừng nhầm lẫn khi chỉ viết một kết quả, trong khi phương trình có hai kết quả.
  • Đối với một số phương trình bậc hai, có một phương pháp giải cao cấp hơn gọi là "phần bù bình phương". Xem bài viết về chủ đề này để biết hướng dẫn chi tiết.
  • Bạn cần biết nếu giá trị bên trong dấu căn không phải là số âm và cũng không bằng không thì sẽ có hai giá trị x. Đây là cách vắn tắt để biết có bao nhiêu giá trị x thực. Nếu giá trị này bằng 0 thì chỉ có một giá trị x. Nếu giá trị này là số âm thì phương trình không có nghiệm (bạn không thể tính căn bậc 2 của số âm).

Thông tin Bài viết

Chuyên mục: Toán học

Ngôn ngữ khác:

English: Find the Roots of a Quadratic Equation, Español: encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado, Italiano: Calcolare le Radici di un'Equazione di Secondo Grado, Português: Encontrar as Raízes de uma Equação Quadrática, Русский: найти корни квадратного уравнения, Bahasa Indonesia: Mencari Akar Akar Persamaan Kuadrat, Deutsch: Die Nullstellen einer quadratischen Gleichung bestimmen, Français: trouver les racines d'une équation du second degré, Nederlands: De wortels bepalen van een tweedegraadsvergelijking, 한국어: 이차방정식의 근 구하는 법, ไทย: หารากที่สองของสมการกำลังสอง, العربية: إيجاد أصفار الدالة, हिन्दी: एक गणितीय फंक्शन के शून्य पता करें, 中文: 求函数零点

Trang này đã được đọc 1.014 lần.

Bài viết này đã giúp ích cho bạn?