Cách để Học môn đại số

Cùng viết bởi Daron Cam

Môn đại số có vẻ đáng sợ, nhưng một khi đã quen với nó thì bạn sẽ thấy không khó lắm đâu! Bạn chỉ việc làm theo trình tự để hoàn thành các vế của phương trình và sắp xếp phép toán cẩn thận để tránh sai sót!

Phần 1

Phần 1 của 5:

Học các nguyên tắc đại số cơ bản

1
Ôn lại các phép tính cơ bản. Để bắt đầu học đại số, bạn cần biết các kỹ năng toán cơ bản như cộng, trừ, nhân và chia. Các kỹ năng toán học sơ cấp này rất cần thiết cho bạn trước khi bắt đầu học đại số. Bạn sẽ rất khó hiểu các khái niệm phức tạp hơn trong đại số nếu chưa học những phép toán đó. Nếu cần ôn lại thì bạn có thể tìm đọc bài viết của chúng tôi về kỹ năng toán học cơ bản.
- Bạn không nhất thiết phải tính nhẩm thật giỏi các phép toán này để có thể giải các bài toán đại số. Nhiều lớp học đại số cho phép bạn sử dụng máy tính cầm tay để tiết kiệm thời gian với các phép tính đơn giản. Tuy nhiên, tối thiểu bạn nên biết cách tính các phép toán cơ bản mà không cần dùng máy tính để đề phòng trường hợp bạn không được phép dùng.
2
Biết trình tự thực hiện các phép tính. Đối với người mới học, họ thường không biết phải bắt đầu từ đâu khi giải các phương trình đại số. Có một trình tự cụ thể để giải các bài toán này: đầu tiên tính tất cả các phép toán trong ngoặc, sau đó tính lũy thừa, nhân, chia, cộng và cuối cùng là trừ. Bạn có thể tìm trên internet cách áp dụng trình tự các phép tính. Nói tóm lại, trình tự thực hiện các phép tính là:
- Ngoặc đơn
- Số mũ
- Phép nhân
- Phép chia
- Phép cộng
- Phép trừ
- Trong đại số, trình tự tính toán đóng vai trò quan trọng, vì thực hiện các phép toán sai trình tự đôi khi có thể dẫn đến kết quả sai. Ví dụ, nếu chúng ta có bài toán 8 + 2 × 5, nếu cộng 2 với 8 trước thì chúng ta có 10 × 5 = 50, nhưng nếu nhân 2 với 5 trước thì chúng ta có 8 + 10 = 18. Chỉ có kết quả thứ hai là chính xác.
3
Biết cách sử dụng số âm. Trong đại số, người ta thường dùng số âm, do đó bạn nên ôn lại cách cộng, trừ, nhân và chia số âm trước khi bắt đầu học đại số. Dưới đây là một số kiến thức cơ bản về số âm — để biết thêm thông tin, bạn nên xem các bài viết của chúng tôi về cộng, trừ, nhân và chia số âm.
- Xét trên trục số, giá trị âm của một số có cùng khoảng cách với giá trị dương của nó tính từ gốc không, nhưng theo hướng ngược lại.
- Cộng hai số âm sẽ cho một số âm lớn hơn (nói một cách khác, con số sẽ lớn hơn nhưng vì là số âm nên nó càng âm nhiều hơn).
- Hai dấu trừ triệt tiêu lẫn nhau — trừ số âm cũng giống như cộng số dương
- Nhân hoặc chia hai số âm sẽ cho kết quả là số dương.
- Nhân hoặc chia số dương cho số âm sẽ cho kết quả là số âm.
4
Biết cách trình bày các bài toán dài. Việc giải các bài toán đại số đơn giản có thể rất nhanh gọn, nhưng đối với bài toán phức tạp thì bạn phải thực hiện nhiều bước. Để tránh phạm lỗi, bạn nên trình bày bài toán trên một dòng mới mỗi khi bắt đầu một bước giải. Nếu đang giải phương trình có hai vế thì bạn cố gắng viết tất cả các dấu bằng ("=") thẳng hàng với nhau. Như vậy nếu có sai sót ở vị trí nào đó, bạn sẽ dễ phát hiện ra hơn.
- Ví dụ, để giải phương trình 9/3 - 5 + 3 × 4, chúng ta trình bày bài toán như sau:
  
  9/3 - 5 + 3 × 4
  
  9/3 - 5 + 12
  
  3 - 5 + 12
  
  3 + 7
  
  10
Quảng cáo

Phần 2

Phần 2 của 5:

Tìm hiểu biến số

1
Tìm các ký hiệu không phải là số. Trong đại số, các bài toán không chỉ có số, mà bạn sẽ thấy ký tự và ký hiệu xuất hiện trong đó. Chúng được gọi là biến số. Các biến số không phức tạp như bạn nghĩ - đó chỉ là cách thể hiện những con số chưa biết giá trị. Dưới đây là một số ví dụ phổ biến về biến số trong đại số:
- Các ký tự như x, y, z, a, b và c
- Các ký tự Hy Lạp như theta (θ)
- Lưu ý rằng không phải tất cả các ký hiệu đều là biến số chưa biết. Ví dụ, số pi (π) luôn luôn bằng khoảng 3,14159.
2
Xem biến số là số "chưa biết". Như đã nói, về cơ bản biến số chỉ là số chưa biết giá trị. Nói một cách khác, có một số con số có thể thay vào biến số để phương trình thỏa mãn. Thường thì mục tiêu của bài toán đại số là tìm ra giá trị của biến số — hãy xem nó như là "con số bí mật" mà bạn cần tìm ra.
- Ví dụ, trong phương trình 2x + 3 = 11, x là biến số. Nghĩa là có một giá trị có thể thay vào x để làm cho vế trái của phương trình bằng 11. Vì 2 × 4 + 3 = 11, trong trường hợp này x = 4.
- Có một cách để hiểu biến số đó là thay thế biến số với dấu hỏi. Ví dụ, chúng ta viết lại phương trình 2 + 3 + x = 9 thành 2 + 3 + ? = 9. Cách viết này giúp bạn hiểu dễ hơn những gì cần phải làm — chúng ta chỉ cần tìm ra con số nào cộng với 2 + 3 = 5 để có 9. Dĩ nhiên đáp án là 4.
3
Tìm các biến số xuất hiện nhiều lần. Nếu biến số xuất hiện nhiều hơn một lần, hãy tối giản các biến số. Bạn sẽ làm gì nếu một biến số xuất hiện nhiều lần trong phương trình? Bài toán dạng này dường như khó giải, nhưng thật ra bạn có thể xem các biến số như số thông thường — nói một cách khác, bạn có thể cộng hoặc trừ chúng và v.v... miễn là bạn chỉ được kết hợp các biến số giống nhau. Nghĩa là x + x = 2x, nhưng x + y không phải là 2xy.
- Ví dụ, hãy xem phương trình 2x + 1x = 9. Chúng ta có thể cộng 2x với 1x để có phương trình 3x = 9. Vì 3 x 3 = 9 nên chúng ta biết x = 3.
- Xin nhắc lại là bạn chỉ có thể cộng các biến số giống nhau với nhau. Trong phương trình 2x + 1y = 9, bạn không thể cộng 2x với 1y vì chúng là hai biến số khác nhau.
- Điều này cũng đúng khi một biến có số mũ khác với biến kia. Ví dụ, trong phương trình x + 3x² = 10, bạn không thể cộng 2x với 3x² vì các biến x có số mũ khác nhau. Xem Cách để cộng số mũ để biết thêm thông tin.
Quảng cáo

Phần 3

Phần 3 của 5:

Học cách "triệt tiêu" để giải phương trình

1
Cố gắng chuyển vế phương trình sao cho một bên dấu bằng chỉ có biến số. Giải phương trình đại số nghĩa là phải tìm ra giá trị của biến số. Phương trình đại số thường bao gồm số và/hoặc biến số ở hai vế, có dạng như sau: x + 2 = 9 × 4. Để tìm ra biến số, bạn phải chuyển vế để một bên phương trình chỉ có biến số. Phần còn lại nằm ở vế bên kia của dấu bằng chính là đáp án.
- Trong ví dụ (x + 2 = 9 × 4), để vế trái phương trình chỉ có một mình biến x thì bạn cần loại bỏ "+ 2". Bạn chỉ cần trừ 2 khỏi vế đó là chúng ta còn x = 9 × 4. Tuy nhiên, để hai vế của phương trình bằng nhau thì bạn cũng phải trừ 2 vào vế bên kia. Như vậy chúng ta có x = 9 × 4 - 2. Theo trình tự tính toán, chúng ta sẽ nhân trước khi trừ, kết quả sẽ là x = 36 - 2 = 34.
2
Triệt tiêu phép cộng bằng phép trừ (và ngược lại). Như đã thấy ở trên, muốn một vế phương trình chỉ có biến x thì chúng ta phải loại bỏ các con số bên cạnh nó. Để làm việc này thì bạn phải thực hiện phép toán "đối nghịch" cho cả hai vế phương trình. Ví dụ, trong phương trình x + 3 = 0, vì chúng ta có "+ 3" bên cạnh x nên sẽ thêm "- 3" vào hai vế. "+ 3" và "- 3" triệt tiêu lẫn nhau nên một bên phương trình chỉ còn x, và vế kia sẽ còn "-3": x = -3.
- Nói chung, phép cộng và phép trừ là hai phép toán "đối nghich" — thực hiện phép toán này để loại bỏ phép toán kia. Xem ví dụ dưới đây:
  
  Đối với phép cộng, bạn sẽ trừ. Ví dụ: x + 9 = 3 → x = 3 - 9
  
  Đối với phép trừ, bạn sẽ cộng. Ví dụ: x - 4 = 20 → x = 20 + 4
3
Triệt tiêu phép nhân bằng phép chia (và ngược lại). Phép nhân và chia hơi khó hơn so với phép cộng và trừ, nhưng chúng cũng có mối quan hệ "đối nghịch". Nếu bạn thấy "× 3" ở một vế, hãy triệt tiêu nó bằng cách chia hai vế cho 3.
- Với phép nhân và chia, bạn phải thực hiện phép toán đối nghịch cho mọi số hạng ở vế bên kia phương trình, cho dù có nhiều hơn một số hạng. Xem ví dụ dưới đây:
  
  Đối với phép nhân, bạn sẽ chia. Ví dụ: 6x = 14 + 2→ x = (14 + 2)/6
  
  Đối với phép chia, bạn sẽ nhân. Ví dụ: x/5 = 25 → x = 25 × 5
4
Triệt tiêu lũy thừa bằng cách khai căn (và ngược lại). Lũy thừa là một chủ đề đại số khá nâng cao — nếu bạn không biết phép tính lũy thừa thì xem bài viết về lũy thừa để biết thêm thông tin. "Đối nghịch" với phép tính lũy thừa là phép khai căn với cùng bậc của lũy thừa đó. Ví dụ, đối nghịch với lũy thừa ² là căn bậc hai (√), đối nghịch với lũy thừa ³ là căn bậc ba (³√), và vân vân.
- Vấn đề này hơi khó hiểu, nhưng trong trường hợp phương trình có lũy thừa thì bạn phải khai căn hai vế phương trình. Mặt khác, khi giải bài toán có căn thì bạn phải tính lũy thừa hai vế phương trình. Xem ví dụ dưới đây:
  
  Đối với lũy thừa, bạn sẽ khai căn. Ví dụ: x² = 49 → x = √49
  
  Đối với căn, bạn sẽ tính lũy thừa. Ví dụ: √x = 12 → x = 12²
Quảng cáo

Phần 4

Phần 4 của 5:

Tăng cường kỹ năng đại số

1
Sử dụng hình ảnh để minh họa cho bài toán. Nếu bạn không thể hình dung ra một bài toán đại số nào đó thì thử dùng đồ thị hay hình ảnh để minh hoạ cho phương trình. Thậm chí bạn có thể dùng các vật thể như đồng tiền xu nếu có sẵn.
- Ví dụ, hãy giải phương trình x + 2 = 3 bằng cách sử dụng các chiếc hộp (☐)
  
  x +2 = 3
  
  ☒+☐☐ =☐☐☐
  
  Chúng ta sẽ trừ 2 cho hai vế bằng cách lấy đi 2 chiếc hộp (☐☐) khỏi hai vế:
  
  ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
  
  ☒=☐, hoặc x = 1
- Một ví dụ khác, hãy giải phương trình 2x = 4
  
  ☒☒ =☐☐☐☐
  
  Chúng ta sẽ chia hai vế cho 2 bằng cách tách các hộp ở mỗi về thành hai nhóm:
  
  ☒|☒ =☐☐|☐☐
  
  ☒ = ☐☐, hoặc x = 2
2
Sử dụng phương pháp "kiểm tra tính hợp lý" (đặc biệt với bài toán có lời văn). Khi chuyển bài toán có lời văn thành bài toán đại số, bạn hãy cố gắng kiểm tra công thức bằng cách thay các giá trị đơn giản vào biến số. Phương trình có thỏa mãn khi x = 0? Khi x = 1? Khi x = -1? Bạn rất dễ mắc những sai sót nhỏ như viết p=6d trong khi muốn nói p=d/6, nhưng sai sót này sẽ dễ dàng bị phát hiện nếu bạn thực hiện phép kiểm tra nhanh trước khi tiếp tục giải.
- Ví dụ, bài toán cho một sân bóng có chiều dài dài hơn chiều rộng 30m. Chúng ta sử dụng phương trình l = w + 30 để thể hiện mối quan hệ này. Bạn có thể kiểm tra tính hợp lý của phương trình bằng cách thay vào các giá trị đơn giản. Ví dụ, nếu sân bóng có chiều rộng w = 10m, thì chiều dài sẽ là 10 + 30 = 40m. Nếu nó có chiều rộng 30m, thì chiều dài là 30 + 30 = 60m, và vân vân. Phương trình này hợp lý — chúng ta sẽ có sân bóng dài hơn khi chiều rộng rộng hơn.
3
Nhớ rằng trong đại số, đáp án không phải lúc nào cũng là số nguyên. Trong đại số và các dạng toán học cao cấp khác, đáp án có thể không phải là số nguyên. Đáp án thường là số thập phân, phân số, hoặc số vô tỷ. Máy tính có thể giúp bạn tìm được đáp án phức tạp, nhưng nên nhớ giáo viên có thể yêu cầu bạn ghi ra đáp án chính xác thay vì số thập phân dài loằng ngoằng.
- Ví dụ, giả sử chúng ta rút gọn một phương trình đại số thành x = 1250⁷. Nếu nhập 1250⁷ vào máy tính, bạn sẽ nhận được một dãy số thập phân khổng lồ (vì màn hình máy tính không đủ lớn nên sẽ không thể hiển thị toàn bộ con số). Trong trường hợp này, chúng ta nên ghi đáp án là 1250⁷ hoặc đơn giản con số đó bằng cách viết theo ký hiệu toán học.
4
Khi đã tự tin với kỹ năng đại số cơ bản, bạn thử phân tích thành thừa số. Một trong những kỹ năng đại số khó nhất chính là phân tích thành thừa số — một dạng viết tắt để đơn giản hóa các phương trình phức tạp. Phân tích thành thừa số là chủ đề đại số bán cao cấp, do đó bạn nên tham khảo bài viết có liên kết trên đây nếu gặp khó khăn đối với nó. Dưới đây là vài gợi ý ngắn gọn để phân tích phương trình thành thừa số:
- Phương trình có dạng ax + ba phân tích thành a(x + b). Ví dụ: 2x + 4 = 2(x + 2)
- Phương trình có dạng ax² + bx phân tích thành cx((a/c)x + (b/c)), trong đó c là thừa số chung của a và b. Ví dụ: 3y² + 12y = 3y(y + 4)
- Phương trình có dạng x² + bx + c phân thích thành (x + y)(x + z) trong đó y × z = c và yx + zx = bx. Ví dụ: x² + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).
5
Thực hành, thực hành và thực hành! Để giỏi đại số (và bất kì dạng toán nào) bạn cần phải luyện tập rất nhiều. Không nên lo lắng, bạn chỉ cần tập trung trong giờ học, làm tất cả bài tập về nhà và nhờ giáo viên hay bạn học hỗ trợ, bạn sẽ bắt đầu trở nên thành thạo môn đại số.
6
Nhờ giáo viên giải thích các vấn đề về đại số khó hiểu. Nếu bạn gặp khó khăn trong việc học đại số, không nên lo lắng vì bạn không phải một mình đối mặt với nó. Giáo viên là người đầu tiên bạn nên tìm tới khi có câu hỏi. Sau giờ học, bạn hãy nhờ giáo viên giúp đỡ một cách lễ phép. Giáo viên tốt thường sẽ sẵn lòng giảng lại bài học vào cuối giờ học, và thậm chí cung cấp cho bạn bài tập làm thêm.
- Nếu họ không thể giúp bạn vì lý do nào đó, hãy hỏi về các phương án phụ đạo khác tại trường. Nhiều trường có chương trình sau giờ học có thể giúp bạn học thêm và được hướng dẫn nhiều hơn để cải thiện kỹ năng đại số. Việc tìm sự hỗ trợ có sẵn và miễn phí không phải là điều gì đó đáng xấu hổ — đó là dấu hiệu cho thấy bạn đủ thông minh để giải quyết vấn đề của mình!
Quảng cáo

Phần 5

Phần 5 của 5:

Tìm hiểu các chủ đề toán học trung cấp

1
Học vẽ đồ thị phương trình x/y. Đồ thị là công cụ rất hữu ích trong đại số vì nó cho phép hiển thị các ý tưởng dưới dạng hình ảnh dễ hiểu, mà thông thường bạn sẽ phải dùng số. Trong đại số sơ cấp, các bài toán vẽ đồ thị thường chỉ giới hạn ở phương trình có hai biến số (x và y) và được vẽ trên đồ thị 2 chiều đơn giản với trục x và trục y. Với dạng phương trình này, tất cả những gì cần làm là thay một giá trị vào x rồi giải tìm y (hoặc ngược lại) để có hai giá trị tương ứng với một điểm trên đồ thị.
- Ví dụ, trong phương trình y = 3x, nếu bạn thay 2 vào x thì có y = 6. Nghĩa là điểm (2,6) (hai đơn vị về bên phải trục y và sáu đơn vị ở phía trên trục x) là một phần của đồ thị phương trình này.
- Phương trình có dạng y = mx + b (trong đó m và b là các con số) đặc biệt phổ biến trong đại số cơ bản. Các phương trình này luôn có độ dốc m và cắt trục y tại y = b.
2
Học cách giải bất đẳng thức. Bạn sẽ làm gì khi phương trình không có dấu bằng? Nhưng thật ra không có gì khác biệt nhiều với cách giải phương trình thông thường. Đối với bất đẳng thức, người ta dùng dấu > ("lớn hơn") và < ("nhỏ hơn"), bạn hãy giải như bình thường. Bạn sẽ nhận được đáp án nhỏ hơn hoặc lớn hơn biến số cần tìm.
- Ví dụ, với bất đẳng thức 3 > 5x - 2, chúng ta sẽ giải như phương trình thông thường:
  
  3 > 5x - 2
  
  5 > 5x
  
  1 > x, or x < 1.
- Nghĩa là các số nhỏ hơn một đều thỏa mãn bất đẳng thức khi thay vào x. Nói một cách khác, x có thể là 0, -1, -2 và vân vân. Nếu chúng ta thay các số này vào bất đẳng thức, đáp án nhận được luôn nhỏ hơn 3.
3
Giải phương trình bậc hai. Nhiều người mới học đại số thường gặp khó khăn với phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax² + bx + c = 0, trong đó a, b và c là các con số (nhưng a không thể bằng 0). Các phương trình này được giải theo công thức x = [-b +/- √(b² - 4ac)]/2a . Cẩn thận — dấu +/- nghĩa là bạn phải tìm đáp án cho cả dấu cộng và trừ, do đó bạn có hai đáp án cho dạng phương trình này.
- Lấy ví dụ là phương trình bậc hai sau 3x² + 2x -1 = 0.
  
  x = [-b +/- √(b² - 4ac)]/2a
  
  x = [-2 +/- √(2² - 4(3)(-1))]/2(3)
  
  x = [-2 +/- √(4 - (-12))]/6
  
  x = [-2 +/- √(16)]/6
  
  x = [-2 +/- 4]/6
  
  x = -1 và 1/3
4
Thử nghiệm với hệ phương trình. Giải cùng lúc nhiều phương trình nghe có vẻ rất khó, nhưng khi bạn đã giải các phương trình đại số đơn giản thì việc này không thật sự khó. Thông thường giáo viên đại số sử dụng phương pháp đồ thị để giải các bài toán này. Khi giải hệ hai phương trình, đáp án chính là tọa độ điểm mà hai đường thẳng biểu diễn phương trình giao nhau trên đồ thị.
- Ví dụ, giả sử chúng ra có hệ hai phương trình y = 3x - 2 và y = -x - 6. Nếu vẽ hai đường thẳng này trên đồ thị, chúng ta có một đường đi lên theo độ dốc lớn, và một đường đi xuống theo độ dốc nhỏ hơn. Vì các đường này cắt nhau tại điểm (-1,-5) nên đây là đáp án của hệ phương trình.^{[1]
  X
  Nguồn nghiên cứu}
- Nếu muốn kiểm tra thì bạn có thể thay đáp án vào các phương trình trong hệ — đáp án đúng phải "thỏa mãn" cả hai phương trình.
  
  y = 3x - 2
  
  -5 = 3(-1) - 2
  
  -5 = -3 - 2
  
  -5 = -5
  
  y = -x - 6
  
  -5 = -(-1) - 6
  
  -5 = 1 - 6
  
  -5 = -5
- Cả hai phương trình đều "thỏa mãn" nên đáp án là đúng!
Quảng cáo

Lời khuyên

Có rất nhiều tài nguyên học đại số trên mạng. Ví dụ, bạn chỉ cần nhập từ khóa tìm kiếm đơn giản như "hỗ trợ học đại số", trình duyệt sẽ liệt kê hàng tá kết quả hữu ích. Bạn cũng nên tìm trong tập hợp các bài viết về toán học của wikiHow. Bạn có thể tìm thấy vô số tài liệu về đại số, vì vậy hãy bắt đầu khám phá từ hôm nay!
Một trang rất tốt cho những người mới học đại số là khanacademy.com. Trang web miễn phí này cung cấp rất nhiều bài học được sắp xếp hợp lý với nhiều chủ đề, trong đó có đại số. Có video hướng dẫn mọi thứ từ những kiến thức rất cơ bản cho đến chủ đề trình độ đại học, do đó bạn không nên ngần ngại khai thác kho tài liệu của Học viện Khan, và sử dụng mọi chức năng hỗ trợ của nó!
Đừng quên rằng nguồn tài nguyên tốt nhất để học đại số có thể là những người mà bạn vẫn gặp thường ngày. Thử trao đổi với bạn bè hay sinh viên cùng lớp nếu bạn muốn được hỗ trợ thêm về bài học.