Tải về bản PDF Tải về bản PDF

Phương trình bậc hai là phương trình đa thức một biến với 2 là số mũ cao nhất của biến đó. Có ba cách giải phương trình bậc 2 chính: 1) phân tích phương trình thành nhân tử nếu có thể, 2) dùng công thức phương trình bậc 2, hoặc 3) hoàn thành phép bình phương. Hãy làm theo những bước sau đây để biết cách trở nên thành thạo với ba phương pháp này.

Phương pháp 1
Phương pháp 1 của 3:
Phân tích phương trình thành nhân tử

  1. 1
    Cộng mọi số hạng giống nhau và đưa chúng sang một vế của phương trình. Bước đầu tiên trong việc phân tích phương trình thành nhân tử chính là đưa mọi số hạng của nó sang một vế sao cho mang dấu dương. Để kết hợp các số hạng, hãy cộng hoặc trừ mọi số hạng chứa , mọi số hạng chứa và hằng số (số hạng là số nguyên), chuyển chúng sang một vế và không để lại gì ở vế kia. Khi đó, bạn có thể viết "0" ở phía bên kia của dấu bằng. Đây là cách thực hiện:[1]
  2. 2
    Phân tích biểu thức thành nhân tử. Để phân tích biểu thức thành nhân tử, bạn phải dùng các thừa số của số hạng chứa (3) và các thừa số của hằng số (-4), để nhân chúng với nhau rồi cộng thành số hạng chính giữa (-11). Đây là cách thực hiện:
    • Bởi chỉ có một bộ thừa số khả thi, , bạn có thể viết lại trong dấu ngoặc đơn như sau: .
    • Tiếp đến, dùng phép khử kết hợp các thừa số của 4 để tìm được tổ hợp tạo nên -11x khi nhân với nhau. Bạn có thể dùng 4 và 1 hoặc 2 và 2 bởi chúng đều có tích là 4. Chỉ cần nhớ rằng một thừa số phải âm bởi số hạng của ta là -4.
    • Bằng phương pháp thử, ta sẽ kiểm tra tổ hợp các thừa số . Khi triển khai nhân, ta thu được . Cộng các số hạng , ta có , chính là số hạng chính giữa mà ta đang hướng đến. Vậy là ta đã vừa phân tích phương trình bậc hai thành nhân tử.
    • Như một ví dụ của phép thử, hãy cùng kiểm tra một tổ hợp bị lỗi (không đúng) của : = . Kết hợp các số hạng này, ta sẽ thu được . Dù đúng là -2 và 2 có tích bằng -4, số hạng ở giữa không chính xác, bởi ta cần có chứ không phải là .
  3. 3
    Cho từng biểu thức trong dấu ngoặc bằng không như những phương trình riêng lẻ. Từ đó, tìm hai giá trị của khiến phương trình tổng thể có giá trị bằng không = 0. Lúc này, khi đã phân tích phương trình thành nhân tử, bạn chỉ việc cho biểu thức trong dấu ngoặc bằng không. Vì sao vậy? Đó là bởi để tích bằng không, ta có "nguyên tắc, luật hay đặc tính" là một nhân tử phải bằng không. Do đó, ít nhất một giá trị trong dấu ngoặc, phải bằng không; nghĩa là (3x + 1) hoặc (x - 4) phải bằng không. Nên ta có hoặc .
  4. 4
    Giải độc lập từng phương trình "bằng không" này. Phương trình bậc hai có hai nghiệm khả thi. Hãy tìm từng nghiệm khả thi cho biến x bằng cách tách biến và viết ra hai nghiệm của nó như là kết quả cuối cùng. Đây là cách làm:
    • Giải 3x + 1 = 0
      • Trừ hai vế: 3x = -1 .....
      • Chia hai vế: 3x/3 = -1/3 .....
      • Thu gọn: x = -1/3 .....
    • Giải x - 4 = 0
      • Trừ hai vế: x = 4 .....
    • Viết bộ nghiệm riêng khả thi: x = (-1/3, 4) ....., nghĩa là x = -1/3, hoặc x = 4 đều có khả năng đúng.
  5. 5
    Kiểm tra x = -1/3 trong (3x + 1)(x – 4) = 0:

    Thay vào biểu thức, ta có (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0 ..... Thu gọn: (-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 ..... Thực hiện phép nhân, ta được (0)(-4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... Phải, x = -1/3 là một nghiệm của phương trình.
  6. 6
    Kiểm tra x = 4 trong (3x + 1)(x - 4) = 0:

    Thay vào biểu thức, ta có (3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0 ..... Thu gọn, ta được: (13)(4 – 4) ?=? 0 ..... Thực hiện phép nhân: (13)(0) = 0 ..... 0 = 0 ..... Phải, x = 4 là một nghiệm của phương trình.
    • Vậy cả hai nghiệm khả thi này đều đã được "kiểm tra" riêng lẻ, và có thể khẳng định rằng cả hai đều giải được bài toán và là hai nghiệm đúng riêng biệt.
    Quảng cáo

Phương pháp 2
Phương pháp 2 của 3:
Dùng công thức phương trình bậc hai

  1. 1
    Cộng mọi số hạng giống nhau và chuyển chúng sang một vế của phương trình. Chuyển mọi số hạng sang một vế của dấu bằng sao cho số hạng chứa mang dấu dương. Viết lại các số hạng theo số bậc giảm dần, nghĩa là số hạng đứng trước, tiếp đến là và cuối cùng là hằng số. Đây là cách làm:
    • 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
    • 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
    • 3x2 - 5x - 8 = 0
  2. 2
    Viết công thức phương trình bậc hai. Đó là: [2]
  3. 3
    Xác định giá trị của a, b và c trong phương trình bậc hai. Biến a là hệ số của x2, b là hệ số của x và c là hằng số. Với phương trình 3x2 -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, và c = -8. Hãy viết ra giấy.
  4. 4
    Thay giá trị của a, b và c vào phương trình. Giờ khi đã biết giá trị của ba biến trên, bạn có thể đưa chúng vào phương trình như sau:
    • {-b +/-√ (b2 - 4ac)}/2
    • {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
    • {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
  5. 5
    Tiến hành tính toán. Sau khi đã thay số vào, hãy thực hiện phần tính toán còn lại để thu gọn dấu dương hay âm, nhân hay bình phương những số hạng còn lại. Đây là cách làm:
    • {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
    • {5 +/-√(25 + 96)}/6
    • {5 +/-√(121)}/6
  6. 6
    Thu gọn căn bậc hai. Nếu nằm dưới dấu căn là một số chính phương, bạn sẽ có được một số nguyên. Nếu đó không phải là một số chính phương, vậy hãy thu gọn nó về dạng căn đơn giản nhất. Nếu đó là số âm, và bạn chắc chắn rằng nó phải mang giá trị âm, nghiệm sẽ khá phức tạp. Trong ví dụ này, √(121) = 11. Ta có thể viết: x = (5 +/- 11)/6.
  7. 7
    Giải để có nghiệm âm và dương. Nếu đã loại bỏ căn bậc hai, bạn có thể tiếp tục cho đến khi tìm được nghiệm âm và dương của x. Giờ, khi đã có (5 +/- 11)/6, bạn có thể viết hai lựa chọn:
    • (5 + 11)/6
    • (5 - 11)/6
  8. 8
    Tìm nghiệm âm và nghiệm dương. Ta chỉ việc thực hiện tính toán:
    • (5 + 11)/6 = 16/6
    • (5-11)/6 = -6/6
  9. 9
    Thu gọn. Để thu gọn đáp án, bạn chỉ việc chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng. Chia tử và mẫu của phân số đầu tiên cho 2 và chia tử và mẫu của phân số thứ hai cho 6, bạn đã tìm được x.
    • 16/6 = 8/3
    • -6/6 = -1
    • x = (-1, 8/3)
    Quảng cáo

Phương pháp 3
Phương pháp 3 của 3:
Hoàn thành phép bình phương

  1. 1
    Chuyển mọi số hạng sang một vế của phương trình. Đảm bảo rằng a hay x2 mang dấu dương. Đây là cách làm:[3]
    • 2x2 - 9 = 12x =
    • 2x2 - 12x - 9 = 0
      • Trong phương trình này, a bằng 2, b bằng -12 và c bằng -9.
  2. 2
    Chuyển c hay hằng số sang vế bên kia. Hằng số là số hạng bằng số không chứa biến. Hãy chuyển nó sang vế bên phải của phương trình:
    • 2x2 - 12x - 9 = 0
    • 2x2 - 12x = 9
  3. 3
    Chia cả hai vế cho hệ số a hay hệ số của x2. Nếu x2 không có số hạng nào đứng trước, vậy hệ số của nó là 1 và bạn có thể bỏ qua bước này. Trong trường hợp của chúng ta, bạn sẽ phải chia toàn bộ các số hạng có trong phương trình cho 2, như thế này:
    • 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
    • x2 - 6x = 9/2
  4. 4
    Chia b cho hai, lấy bình phương của nó và cộng kết quả vào hai vế. Trong ví dụ này, b bằng -6. Ta làm như sau:
    • -6/2 = -3 =
    • (-3)2 = 9 =
    • x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
  5. 5
    Thu gọn hai vế. Phân tích vế trái thành nhân tử, ta có (x-3)(x-3), hay (x-3)2. Cộng thêm vào vế phải để có 9/2 + 9, hay 9/2 + 18/2, và thu được 27/2.
  6. 6
    Tìm căn bậc hai của cả hai vế. Căn bậc hai của (x-3)2 chính là (x-3). Bạn có thể thể hiện căn bậc hai của 27/2 dưới dạng ±√(27/2). Vậy, x - 3 = ±√(27/2).
  7. 7
    Thu gọn dấu căn và tìm x. Để thu gọn ±√(27/2), ta tìm số chính phương nằm trong 27, 2 hoặc thừa số của chúng. Số chính phương 9 có trong 27, bởi 9x3=27. Để lấy 9 ra khỏi dấu căn, ta rút nó ra và viết 3, căn bậc hai của nó, ngoài dấu căn. Thừa số 3 còn lại trong tử số không thể được đưa ra ngoài, do đó, vẫn nằm dưới dấu căn. Đồng thời, ta cũng để nguyên 2 ở mẫu của phân số. Tiếp đến, đưa hằng số 3 ở vế trái của phương trình sang vế phải, và viết xuống hai nghiệm:
    • x = 3 +(√6)/2
    • x = 3 - (√6)/2)
    Quảng cáo

Lời khuyên

  • Như có thể thấy, dấu căn không biến mất hoàn toàn. Do đó, các số hạng nằm ở tử số không thể được cộng dồn (bởi chúng không phải là những số hạng có tính chất giống nhau). Bởi vậy, phân tách cộng-hay-trừ là vô nghĩa. Thay vì vậy, ta có thể chia mọi thừa số chung nhưng CHỈ khi hằng số hệ số của căn thức nào cũng chứa thừa số đó.
  • Nếu nằm dưới dấu căn không phải là một số chính phương, một vài bước cuối có thể sẽ được thực hiện khác đi đôi chút. Chẳng hạn như:
  • Nếu "b" là một số chẵn, công thức sẽ là: {-(b/2) +/- √(b/2)-ac}/a.

Bài viết wikiHow có liên quan

Tính thể tích hình hộp chữ nhậtTính thể tích hình hộp chữ nhật
Tính Đường kính của Hình trònTính Đường kính của Hình tròn
Tìm chiều dài cạnh huyềnTìm chiều dài cạnh huyền
Tính Thể tích Hình lập phươngTính Thể tích Hình lập phương
Tìm diện tích hình tứ giácTìm diện tích hình tứ giác
Tìm định thức ma trận 3x3Tìm định thức ma trận 3x3
Tính Thể tích của Hình lăng trụ Tam giácTính Thể tích của Hình lăng trụ Tam giác
Quy đổi từ mililit sang gamQuy đổi từ mililit sang gam
Tính thể tích hình cầuTính thể tích hình cầu
Chuyển đổi từ hệ nhị phân sang hệ thập phânChuyển đổi từ hệ nhị phân sang hệ thập phân
Tính Bán kính Đường trònTính Bán kính Đường tròn
Tìm căn bậc hai mà không dùng máy tínhTìm căn bậc hai mà không dùng máy tính
Tính phương saiTính phương sai
Tính Diện tích Hình Lục giácTính Diện tích Hình Lục giác
Quảng cáo

Về bài wikiHow này

David Jia
Cùng viết bởi:
Giáo viên phụ đạo
Bài viết này đã được cùng viết bởi David Jia. David Jia là giáo viên phụ đạo và người sáng lập của LA Math Tutoring, một cơ sở dạy kèm tư nhân có trụ sở tại Los Angeles, California. Với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy, David dạy nhiều môn học khác nhau cho học sinh ở mọi lứa tuổi và cấp lớp, cũng như tư vấn tuyển sinh đại học và luyện thi SAT, ACT, ISEE, v.v... Sau khi đạt được 800 điểm toán và 690 điểm tiếng Anh trong kỳ thi SAT, David đã được nhận Học bổng Dickinson của Đại học Miami, nơi anh tốt nghiệp với tấm bằng cử nhân quản trị kinh doanh. Ngoài ra, David từng làm người hướng dẫn trong các video trực tuyến cho các công ty sách giáo khoa như Larson Texts, Big Ideas Learning và Big Ideas Math. Bài viết này đã được xem 18.330 lần.
Chuyên mục: Toán học
Trang này đã được đọc 18.330 lần.

Bài viết này đã giúp ích cho bạn?

Quảng cáo