Cách để Giải phương trình bậc ba

3 Phương pháp:Giải bằng công thức bậc haiTìm nghiệm nguyên với danh sách thừa sốSử dụng phương pháp "biệt thức"

Lần đầu gặp phải phương trình bậc ba (có dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0), có lẽ không ít thì nhiều bạn cũng sẽ cảm thấy phương trình ấy là không thể giải được. Tuy nhiên, cách giải phương trình bậc ba thật sự đã tồn tại hàng thế kỷ! Được tìm ra từ những năm 1500 bởi hai nhà toán học người Ý Niccolò Tartaglia và Gerolamo Cardano, cách giải phương trình bậc ba là một trong những công thức đầu tiên không được kế thừa từ người Hy Lạp và La Mã cổ đại. Dù có thể khá khó, nhưng với cách tiếp cận đúng đắn (và kiến thức nền tốt), đến những phương trình bậc ba khó nhằn nhất cũng có thể bị thuần phục.

1
Giải bằng công thức bậc hai

  1. 1
    Kiểm tra liệu phương trình bậc ba của bạn có chứa hằng số hay không. Như đề cập ở trên, phương trình bậc ba có dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0. b, cd có thể bằng không mà không làm ảnh hưởng đến bậc của phương trình — nghĩa là phương trình không nhất thiết phải chứa toàn bộ các số hạng bx2, cx, hay d để là phương trình bậc ba. Để bắt đầu sử dụng phương pháp giải phương trình bậc ba tương đối dễ này, hãy kiểm tra liệu phương trình có chứa hằng số (nghĩa là giá trị d) hay không. Nếu không chứa, bạn có thể dùng phương trình bậc hai để tìm nghiệm phương trình trên sau khi biến đổi toán học đôi chút.
    • Mặt khác, nếu phương trình chứa hằng số, bạn sẽ cần đến phương pháp giải khác. Hãy tham khảo những cách tiếp cận thay thế ở dưới.
  2. 2
    Đưa x ra khỏi phương trình. Bởi phương trình không chứa hằng số, mọi số hạng trong phương trình đều chứa biến x. Nghĩa là x đó có thể được tách thành nhân tử và đưa ra ngoài để đơn giản hóa phương trình. Hãy làm điều đó, đưa phương trình về dạng x(ax2 + bx + c).
    • Lấy ví dụ phương trình bậc ba gốc 3x3 + -2x2 + 14x = 0. Đưa một x làm thừa số chung và chuyển ra khỏi phương trình, ta có x(3x2 + -2x + 14) = 0.
  3. 3
    Sử dụng công thức phương trình bậc hai để giải phần nằm trong dấu ngoặc. Có thể nhận thấy phần nằm trong dấu ngoặc của phương trình mới có dạng phương trình bậc hai (ax2 + bx + c). Nghĩa là ta có thể tìm được các giá trị đưa phương trình bậc hai này về không bằng cách thay a, bc vào công thức phương trình bậc hai ({-b +/-√ (b2- 4ac)}/2a). Từ đó, thu được hai nghiệm của phương trình bậc ba.
    • Trong ví dụ trên, ta sẽ thay giá trị của a, bc (lần lượt là 3, -2 và 14) vào phương trình bậc hai như sau:
      {-b +/-√ (b2- 4ac)}/2a
      {-(-2) +/-√ ((-2)2- 4(3)(14))}/2(3)
      {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
      {2 +/-√ (4 - (168)}/6
      {2 +/-√ (-164)}/6
    • Nghiệm 1:
      {2 + √(-164)}/6
      {2 + 12,8i}/6
    • Nghiệm 2:
      {2 - 12,8i}/6
  4. 4
    Không và nghiệm phương trình bậc hai vừa tìm được chính là nghiệm phương trình bậc ba của bạn. Trong lúc phương trình bậc hai có hai nghiệm, phương trình bậc ba có đến ba. Bạn đã có được hai trong số đó — chúng là nghiệm mà bạn tìm được trong phần "bậc hai" nằm trong dấu ngoặc của bài toán. Trong trường hợp phương trình bậc ba đáp ứng điều kiện để giải bằng cách "phân tích thành nhân tử" như thế này, nghiệm thứ ba sẽ luôn bằng 0. Xin chúc mừng — bạn đã vừa giải xong phương trình.
    • Lý do mà ta có thể làm vậy là nhờ nguyên tắc cơ bản bất kỳ số nào khi nhân với không cũng bằng không. Khi phân tích phương trình thành dạng x(ax2 + bx + c) = 0, về bản chất, bạn đã chia nó thành hai "nửa": nửa chứa biến x nằm ở bên trái và nửa còn lại là phần bậc hai nằm trong dấu ngoặc. Nếu một trong hai "nửa" này bằng không, cả phương trình sẽ bằng không. Do đó, hai nghiệm của phần bậc hai nằm trong dấu ngoặc – hai nghiệm sẽ khiến "nửa" này bằng không, cũng như bản thân 0 – giá trị sẽ khiến "nửa" trái bằng không, chính là nghiệm của phương trình bậc ba.

2
Tìm nghiệm nguyên với danh sách thừa số

  1. 1
    Đảm bảo rằng có hằng số trong phương trình bậc ba của bạn. Dù tiện lợi vì không phải học thêm bất kỳ kỹ năng toàn học mới nào để có thể sử dụng nhưng phương pháp được trình bày ở trên không phải lúc nào cũng có thể giúp bạn giải được phương trình bậc ba. Nếu phương trình có dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0 với d khác không, mẹo phân tích ở trên là không thể áp dụng được và do đó, bạn sẽ phải dùng phương pháp được trình bày ở phần này hoặc phần dưới để giải.
    • Lấy ví dụ phương trình 2x3 + 9x2 + 13x = -6. Trong trường hợp này, để vế phải bằng 0, ta cần cộng 2 vế cho 6. Trong phương trình mới, 2x3 + 9x2 + 13x + 6 = 0, d = 6, do đó, không thể áp dụng mẹo phân tích ở trên.
  2. 2
    Tìm thừa số của ad. Để giải phương trình bậc ba, hãy bắt đầu bằng cách tìm các thừa số của a (hệ số của x3) và d (hằng số nằm cuối phương trình). Cũng cần nhắc lại rằng, thừa số là những số có thể nhân với nhau để tạo thành một số khác. Ví dụ như, bởi có thể thu được 6 bằng cách nhân 6 × 1 và 2 × 3, 1, 2, 3, và 6 là các thừa số của 6.
    • Trong bài toán ví dụ, a = 2 và d = 6. Thừa số của 2 là 1 và 2. Thừa số của 6 là 1, 2, 3 và 6.
  3. 3
    Chia thừa số của a cho thừa số của d. Tiếp đến, lập danh sách thương thu được khi chia từng thừa số của a cho từng thừa số của d. Thường thì ta sẽ thu được rất nhiều phân số và một vài số nguyên. Nghiệm nguyên của phương trình bậc ba hoặc sẽ là một trong những số nguyên có trong danh sách này, hoặc sẽ là giá trị âm của chúng.
    • Trong phương trình trên, lấy thừa số của a (1, 2) chia cho thừa số của d (1, 2, 3, 6), ta được danh sách sau: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 và 2/3. Tiếp đến, ta thêm các giá trị âm để hoàn thiện danh sách: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, và -2/3. Nghiệm nguyên của phương trình bậc ba sẽ nằm đâu đó trong danh sách này.
  4. 4
    Sử dụng quy tắc Ruffini (phép chia đa thức không tự nhiên) hoặc kiểm tra đáp án bằng tay. Một khi đã có được danh sách, bạn có thể tìm nghiệm nguyên bằng cách thay nhanh bằng tay từng giá trị nguyên và tìm giá trị cho phương trình bằng không. Tuy nhiên, nếu không muốn dành thời gian làm việc này, có cách làm nhanh hơn đôi chút liên quan đến kỹ thuật có tên là quy tắc Ruffini, được dùng để chia đa thức bậc một thông qua các hệ số. Về cơ bản, bạn sẽ muốn chia một cách không tự nhiên giá trị nguyên cho hệ số gốc a, b, cd trong phương trình bậc ba. Nếu phần dư bằng 0, đó là một trong những nghiệm của phương trình.
    • Quy tắc Ruffini là một chủ đề phức tạp. Dưới đây là ví dụ về cách tìm một nghiệm của phương trình bậc ba với phép chia đa thức bậc một bằng cách sử dụng các hệ số:
      -1 | 2 9 13 6
      __| -2-7-6
      __| 2 7 6 0
      Bởi sau cùng, phần dư bằng 0, ta biết rằng một trong những nghiệm nguyên của phương trình bằng -1.

3
Sử dụng phương pháp "biệt thức"

  1. 1
    Viết giá trị của a, b, cd. Với phương pháp này, ta sẽ làm việc rất nhiều với hệ số của các số hạng trong phương trình. Vì vậy, trước khi bắt đầu, bạn nên ghi lại để không quên mất a, b, cd có giá trị là bao nhiêu.
    • Chẳng hạn như với phương trình x3 - 3x2 + 3x - 1, ta sẽ viết a = 1, b = -3, c = 3 và d = -1. Đừng quên rằng khi không có hệ số, hoàn toàn có thể kết luận rằng biến x có hệ số bằng 1.
  2. 2
    Tính Δ0 = b2 - 3ac. Phương pháp biệt thức tìm nghiệm phương trình bậc ba đòi hỏi một vài tính toán phức tạp, nhưng nếu tuân theo quy trình này một cách cẩn thận, bạn sẽ nhận thấy đó là công cụ vô giá để giải những phương trình bậc ba khó có thể giải được bằng những cách khác. Để bắt đầu, tìm Δ0, đại lượng đầu tiên trong số những đại lượng quan trọng mà ta cần, bằng cách thay giá trị thích hợp vào công thức b2 - 3ac.
    • Với bài toán ví dụ, ta làm như sau:
      b2 - 3ac
      (-3)2 - 3(1)(3)
      9 - 3(1)(3)
      9 - 9 = 0 = Δ0
  3. 3
    Tính Δ1= 2b3 - 9abc + 27a2d. Đại lượng quan trọng tiếp theo mà ta cần, Δ1, đòi hỏi xử lý nhiều hơn đôi chút, nhưng về căn bản, nó được tìm bằng cách tương tự như Δ0. Thay giá trị phù hợp vào công thức 2b3 - 9abc + 27a2d để có Δ1.
    • Với bài toán ví dụ, ta làm như sau:
      2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
      2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
      -54 + 81 - 27
      81 - 81 = 0 = Δ1
  4. 4
    Tính Δ = Δ12 - 4Δ03) ÷ -27a2. Tiếp đến, ta sẽ tính biệt thức của phương trình bậc ba từ giá trị Δ0 và Δ1. Biệt thức đơn giản là số cho ta thông tin về nghiệm của một đa thức (có thể dù không ý thức được nhưng bạn đã biết biệt thức bậc hai: b2 - 4ac). Trong trường hợp phương trình bậc ba, nếu biệt thức là dương, phương trình có ba nghiệm thực. Nếu biệt thức bằng không, phương trình có một hoặc hai nghiệm thực, và vài trong số đó là nghiệm bội. Nếu âm, vậy phương trình chỉ có một nghiệm (Phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm thực bởi đồ thị của nó luôn cắt trục hoành ít nhất một lần).
    • Trong bài toán ví dụ, bởi cả Δ0 và Δ1 = 0, tìm Δ sẽ thật dễ dàng. Ta chỉ việc làm như sau:
      Δ12 - 4Δ03) ÷ -27a2
      (0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2
      0 - 0 ÷ 27
      0 = Δ, vậy phương trình có 1 hoặc 2 nghiệm.
  5. 5
    Tính C = 3√(√((Δ12 - 4Δ03) + Δ1)/ 2). Giá trị quan trọng cuối cùng cần tính là C. Đây là đại lượng quan trọng, nhờ có nó cuối cùng ba nghiệm cũng được tìm ra. Hãy giải như bình thường và thay giá trị Δ1 và Δ0 khi cần.
    • Trong bài toán ví dụ, ta tìm C như sau:
      3√(√((Δ12 - 4Δ03) + Δ1)/ 2)
      3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)
      3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
      0 = C
  6. 6
    Tính ba nghiệm với biến của bạn. Nghiệm (đáp án) của phương trình bậc ba của bạn được cho bởi công thức (b + unC + (Δ0/unC)) / 3a, trong đó u = (-1 + √(-3))/2 và n bằng 1, 2, hoặc 3. Thay giá trị khi cần và giải — dù hỏi khá nhiều tính toán nhưng bạn sẽ thu được ba nghiệm khả thi!
    • Trong ví dụ, ta có thể giải bằng cách kiểm tra các đáp án khi n bằng 1, 2 và 3. Những đáp án thu được từ những phép thử này là những nghiệm khả thi của phương trình bậc ba — bất kỳ giá trị nào cho kết quả bằng 0 khi thay vào phương trình đều sẽ là nghiệm đúng của phương trình. Ví dụ như, nếu thu được 1 từ một trong những lần thử, bởi thay 1 vào x3 - 3x2 + 3x - 1 sẽ cho kết quả bằng 0, nên do đó, 1 là một trong những nghiệm của phương trình bậc ba đã cho.

Thông tin Bài viết

Chuyên mục: Toán học

Ngôn ngữ khác:

English: Solve a Cubic Equation, Português: Resolver uma Equação Cúbica, Русский: решать кубические уравнения, Français: résoudre une équation cubique, Italiano: Risolvere un'Equazione Cubica, Español: resolver una ecuación cúbica, Bahasa Indonesia: Menyelesaikan Persamaan Kubik, Deutsch: Eine kubische Gleichung lösen, Nederlands: Een derdegraadsvergelijking oplossen, ไทย: แก้สมการกำลังสาม, العربية: حل معادلة تكعيبية

Trang này đã được đọc 26 lần.

Bài viết này đã giúp ích cho bạn?